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I – Limites d’une fonction
1 – Opérations sur les limites
Soit $f$ et $g$ deux fonctions et $\text{L}$ et $\text{L}'$ deux réels. Alors :
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | $L$ | $\text{L}$ | $\text{L}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim_{x \to a} g(x)$ | $L'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to a} (f + g)(x)$ | $L + L'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | Forme indéterminée |
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | $L$ | $L > 0 \text{ ou } +\infty$ | $L > 0 \text{ ou } +\infty$ | $L < 0 \text{ ou } -\infty$ | $L < 0 \text{ ou } -\infty$ | $\pm\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim_{x \to a} g(x)$ | $L'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $0$ |
| $\lim_{x \to a} (f \times g)(x)$ | $L \times L'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | Forme indéterminée |
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | $L$ | $L$ | $L > 0 \text{ ou } +\infty$ | $L > 0 \text{ ou } +\infty$ | $L < 0 \text{ ou } -\infty$ | $L < 0 \text{ ou } -\infty$ | $0$ | $\pm\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim_{x \to a} g(x)$ | $L' \neq 0$ | $\pm\infty$ | $0^+$ | $0^-$ | $0^+$ | $0^-$ | $0$ | $\pm\infty$ |
| $\lim_{x \to a} \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ | $\frac{L}{L'}$ | $0$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
Le nombre $a$ peut être un réel, ou $+\infty$, ou $-\infty$, ou $a^+$, ou $a^-$
2 – Les formes indéterminées
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | $+\infty -\infty$ | $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ | $\pm\infty \times 0$ | $\frac{0}{0}$ |
|---|
Remarque
Une forme indéterminée ne veut pas dire que la fonction n’a pas de limite nécessairement, mais que la technique utilisée pour calculer cette limite n’est pas la bonne en général.
3 – Quelques techniques de calcul des limites
Méthodes de calcul des limites
Les techniques utilisées pour calculer une limite peuvent se résumer comme suit :
- Un remplacement simple lorsqu’on n’a pas de (FI)
- La factorisation
- La multiplication par l’expression conjuguée
- L’encadrement
- Expression conjuguée + Factorisation
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Cours 1 : Limites et continuité
I – Limites d’une fonction
1 – Opérations sur les limites
Soit $f$ et $g$ deux fonctions et $\text{L}$ et $\text{L}'$ deux réels. Alors :
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | $\text{L}$ | $\text{L}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim_{x \to a} g(x)$ | $\text{L}'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to a} (f + g)(x)$ | $\text{L} + \text{L}'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | Forme indéterminée |
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | $\text{L}$ | $\text{L} > 0 \text{ ou } +\infty$ | $\text{L} < 0 \text{ ou } -\infty$ | $\pm\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim_{x \to a} g(x)$ | $\text{L}'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $0$ |
| $\lim_{x \to a} (f \times g)(x)$ | $\text{L} \times \text{L}'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | Forme indéterminée |
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | $\text{L}$ | $\text{L}$ | $\text{L} > 0 \text{ ou } +\infty$ | $\text{L} < 0 \text{ ou } -\infty$ | $0$ | $\pm\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim_{x \to a} g(x)$ | $\text{L}' \neq 0$ | $\pm\infty$ | $0^+$ | $0^-$ | $0^+$ | $0^-$ | $0$ | $\pm\infty$ |
| $\lim_{x \to a} \left(\frac{f}{g}\right)(x)$ | $\frac{\text{L}}{\text{L}'}$ | $0$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
Le nombre $a$ peut être un réel, ou $+\infty$, ou $-\infty$, ou $a^+$, ou $a^-$
2 – Les formes indéterminées
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | $+\infty -\infty$ | $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ | $\pm\infty \times 0$ | $\frac{0}{0}$ |
|---|
Remarque
Une forme indéterminée ne veut pas dire que la fonction n’a pas de limite nécessairement, mais Que la technique utilisée pour calculer cette limite n’est pas la bonne en général.
3 – Quelques techniques de calcul des limites
Méthodes de calcul des limites
Les techniques utilisées pour calculer une limite peuvent se résumer comme suit :
- Un remplacement simple lorsqu’on n’a pas de (FI)
- La factorisation
- La multiplication par l’expression conjuguée
- L’encadrement
- Expression conjuguée + Factorisation
Proposition 1
Soit $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ ($a_n \neq 0$) une fonction polynôme. Alors :
$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$Proposition 2
Soit $f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_0}$ (où $a_n \neq 0$ et $b_m \neq 0$) une fonction rationnelle. Alors :
$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}$$Proposition3
On a les limites suivantes :
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\qquad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \qquad\qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$Théorème de comparaison
Soit I un intervalle et $a$ une borne de I.
$\left. \begin{array}{l} (\forall x \in I); f(x) < g(x) \cr \lim_{x \to a} g(x) = -\infty \end{array} \right\} \text{ alors } \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$
$\left. \begin{array}{l} (\forall x \in I); f(x) < g(x) \cr \lim_{x \to a} g(x) = +\infty \end{array} \right\} \text{ alors } \lim_{x \to a} f(x) = +\infty$
$\left. \begin{array}{l} (\forall x \in I); h(x) < f(x) < g(x) \cr \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L \end{array} \right\} \text{ alors } \lim_{x \to a} f(x) = L$
(Théorème des gendarmes)
Exemples
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 5}{5x^2 + x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{5x^2} = \frac{3}{5} \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 3}{3x^2 - 2x + 7} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{3x^2} = 0 \text{ ;}$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 7x + 2}{3x + 9} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2}{3x} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} 3x^2 - 5x + 2 = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty \text{ ;}$
- $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2 + 9} - 2x = \lim_{x \to +\infty} \frac{9}{\sqrt{4x^2 + 9} + 2x} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} \sqrt{9x^2 + 7} + 3x = \lim_{x \to -\infty} \frac{7}{\sqrt{9x^2 + 7} - 3x} = 0 \text{ ;}$
- $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{1}{8} \text{ ;}$
- $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 3x - 10} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+5)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+5} = -\frac{1}{7} \text{ ;}$
- $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{2x^2 + 1} - x = \lim_{x \to +\infty} x \left( \sqrt{2 + \frac{1}{x^2}} - 1 \right) = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} \sqrt{2x^2 + 1} + x = \lim_{x \to -\infty} -x \left( \sqrt{2 + \frac{1}{x^2}} + 1 \right) = +\infty$
II – Continuité d’une fonction en un point
1 – Continuité d’une fonction en un point
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a - \alpha, a + \alpha[$ où $\alpha > 0$.
Dire que la fonction $f$ est continue en $a$ si, et seulement si : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Remarques
- Une fonction est continue en un point si sa courbe n’est pas brisée au voisinage du point d’abscisse $a$.
- Lorsqu’une fonction n’est pas continue en $a$, on dit qu’elle est discontinue en $a$.
- Pour étudier la continuité d’une fonction en $a$, on doit s’assurer que $a \in D_f$.
Exemples
Etudier la continuité de la fonction $f$ en $a$ dans chacun des cas suivants :
- $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}, \quad a = 0$
- $f(x) = \frac{\sin x + \cos x}{x}, \quad a = \frac{\pi}{6}$
- $\begin{cases} f(x) = \frac{\sin x}{2x} & \text{; } x \neq 0 \newline f(0) = \frac{1}{2} \end{cases}, \quad a = 0$
2 – Continuité à droite – continuité à gauche
Définition1
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a, a + \alpha[$ où $\alpha > 0$.
Dire que la fonction $f$ est continue à droite en $a$, si et seulement si :
$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$$Définition2
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a - \alpha, a]$ où $\alpha > 0$.
Dire que la fonction $f$ est continue à gauche en $a$, si et seulement si, $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$
Théorème
Une fonction est continue en un point $a$ si, et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $a$.
Remarque
Pour montrer la continuité de certaines fonctions on est contraint de montrer qu’elles sont continues à droite et à gauche en certains points.
Exemples
Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $0$ et la fonction $g$ est continue à gauche en $1$ dans les cas suivants :
$$\begin{cases} f(x) = \frac{\tan(2x)}{\sin x} & \text{; } x > 0 \\ f(0) = 2 \end{cases} \quad ; \quad \begin{cases} g(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{|1 - x|} & \text{; } x < 1 \\ g(1) = 1 \end{cases}$$Etudier la continuité de la fonction $f$ en $1$ dans le cas suivant :
$$\begin{cases} f(x) = \frac{\tan x}{x} & \text{; } x > 1 \\ f(1) = 1 & \\ f(x) = \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x} + \frac{3}{2} & \text{; } x < 0 \end{cases} \quad , \quad a = 0$$Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $f$ soit continue en $2$ :
$$\begin{cases} f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{30 \left( \sqrt{x + 7} - 3 \right)} & \text{; } x > 2 \\ f(2) = b & \\ f(x) = \frac{\sin(x - a)}{x - 2} & \text{; } x < 2 \end{cases}$$
III – Continuité d’une fonction sur un intervalle
1 – Continuité sur un intervalle
Définitions
Soit $a$ et $b$ deux réels quelconques.
- $f$ est continue sur $]a; b[ \iff f$ est continue en chaque élément de $]a; b[$
- $f$ est continue sur $[a; b[ \iff \begin{cases} f \text{ est continue sur } ]a; b[ \\ f \text{ est continue à droite en } a \end{cases}$
- $f$ est continue sur $]a; b] \iff \begin{cases} f \text{ est continue sur } ]a; b[ \\ f \text{ est continue à gauche en } b \end{cases}$
- $f$ est continue sur $[a; b] \iff \begin{cases} f \text{ est continue sur } ]a; b[ \\ f \text{ est continue à droite en } a \\ f \text{ est continue à gauche en } b \end{cases}$
- $f$ est continue sur $]a; +\infty[ \iff f$ est continue en tout élément de $]a; +\infty[$
- $f$ est continue sur $[a; +\infty[ \iff \begin{cases} f \text{ est continue sur } ]a; +\infty[ \\ f \text{ est continue à droite en } a \end{cases}$
- $f$ est continue sur $]-\infty; b[ \iff f$ est continue en tout élément de $]-\infty; b[$
- $f$ est continue sur $]-\infty; b] \iff \begin{cases} f \text{ est continue sur } ]-\infty; b[ \\ f \text{ est continue à gauche en } b \end{cases}$
- $f$ est continue sur $\mathbb{R} \iff f$ est continue en tout élément de $\mathbb{R}$
2 – Continuité des fonctions usuelles
Propriété (admise)
- Toute fonction polynôme est continue sur chaque intervalle de $\mathbb{R}$.
- Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition.
- La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur chaque intervalle de $\mathbb{R}^+$.
- Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur chaque intervalle de $\mathbb{R}$.
3 – Opérations sur les fonctions continues
Proposition 1
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ et $a \in I$ et $k$ un réel quelconque.
- Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors les fonctions $f + g$, $f \times g$ et $k \times f$ sont continues en $a$.
- Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ et $g(a) \neq 0$, alors les fonctions $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues en $a$.
Proposition 2
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ et $k$ un réel quelconque.
- Si $f$ et $g$ sont continues sur l’intervalle $I$, alors les fonctions $f + g$, $f \times g$ et $k \times f$ sont continues sur $I$.
- $\text{Si } \left. \begin{array}{l} f \text{ et } g \text{ sont continues sur l'intervalle } I \cr (\forall x \in I); g(x) \neq 0 \end{array} \right\}, \text{ alors les fonctions } \frac{1}{g} \text{ et } \frac{f}{g} \text{ sont continues sur } I$
Exemple
Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont continues respectivement sur $\mathbb{R}$ et $[1; +\infty[$ telle que :
$$f(x) = x^2 + 3x - 1 + \frac{1}{x^2 + 2} - \cos x \quad ; \quad g(x) = \frac{\sqrt{x - 1} + 2}{\sqrt{x}}$$En effet : on a $D_f = \mathbb{R}$ et comme les fonctions $x \mapsto x^2 + 3x - 1$ et $x \mapsto \frac{1}{x^2 + 2}$ sont continues sur $\mathbb{R}$ alors la fonction $f$ est aussi continue sur $\mathbb{R}$ comme somme de ses deux fonctions.
Et ont a $D_g = [1; +\infty[$ et comme les fonctions $x \mapsto \sqrt{x - 1} + 2$ et $x \mapsto \sqrt{x}$ sont continues sur $[1; +\infty[$ et comme $(\forall x \in [1; +\infty[); \sqrt{x} \neq 0$ ; alors la fonction $g$ est continue sur $[1; +\infty[$ comme quotient de ses deux fonctions continues.
4 – Continuité de la composée de deux fonctions continues
Proposition 1
$\left. \begin{array}{l} f \text{ est continue en un réel } a \cr g \text{ est continue en } b = f(a) \end{array} \right\}, \text{ alors la fonction composée } g \circ f \text{ est continue en } a$
$\left. \begin{array}{l} \text{Si } f \text{ est continue sur un intervalle } I \cr \text{Si } g \text{ est continue sur un intervalle } J \cr \text{Si } f(I) \subset J \end{array} \right\}, \text{ alors } g \circ f \text{ est continue sur l'intervalle } I$
Proposition 3
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $r > 0$ et $L \in \mathbb{R}$ et soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $I = ]a - r, a + r[$ et soit $g$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $J$ centré en $L$ tels que :
$\left. \begin{array}{l} \lim_{x \to a} f(x) = L \cr g \text{ est continue en } L \cr f(I) \subset J \end{array} \right\}, \text{ alors } \lim_{x \to a} g \circ f(x) = L$
5 – Image d’un intervalle par une fonction continue
Proposition
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $[a; b] \subset D_f$ et $I$ un intervalle de $D_f$.
- Si $f$ est continue sur $[a; b]$, alors $f([a; b]) = [m; M]$ est un segment
- Si $f$ est continue sur $I$, alors $f(I) = J$ est un intervalle
| Intervalle $I$ | $f$ est strictement croissante sur $I$ | $f$ est strictement décroissante sur $I$ |
|---|---|---|
| $[a; b]$ | $[f(a); f(b)]$ | $[f(b); f(a)]$ |
| $[a; b[$ | $\left[ f(a); \lim_{x \to b^-} f(x) \right[$ | $\left] \lim_{x \to b^-} f(x); f(a) \right]$ |
| $]a; b]$ | $\left] \lim_{x \to a^+} f(x); f(b) \right]$ | $\left[ f(b); \lim_{x \to a^+} f(x) \right[$ |
| $]a; b[$ | $\left] \lim_{x \to a^+} f(x); \lim_{x \to b^-} f(x) \right[$ | $\left] \lim_{x \to b^-} f(x); \lim_{x \to a^+} f(x) \right[$ |
| $[a; +\infty[$ | $\left[ f(a); \lim_{x \to +\infty} f(x) \right[$ | $\left] \lim_{x \to +\infty} f(x); f(a) \right]$ |
| $]a; +\infty[$ | $\left] \lim_{x \to a^+} f(x); \lim_{x \to +\infty} f(x) \right[$ | $\left] \lim_{x \to +\infty} f(x); \lim_{x \to a^+} f(x) \right[$ |
| $]-\infty; b]$ | $\left] \lim_{x \to -\infty} f(x); f(b) \right]$ | $\left[ f(b); \lim_{x \to -\infty} f(x) \right[$ |
| $]-\infty; b[$ | $\left] \lim_{x \to -\infty} f(x); \lim_{x \to b^-} f(x) \right[$ | $\left] \lim_{x \to b^-} f(x); \lim_{x \to -\infty} f(x) \right[$ |
| $]-\infty; +\infty[$ | $\left] \lim_{x \to -\infty} f(x); \lim_{x \to +\infty} f(x) \right[$ | $\left] \lim_{x \to +\infty} f(x); \lim_{x \to -\infty} f(x) \right[$ |
IV – Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
$\left. \begin{array}{l} f \text{ est une fonction continue sur } [a;b] \cr k \text{ un réel compris entre } f(a) \text{ et } f(b) \end{array} \right\} \text{ alors il existe un réel } c \text{ de } [a;b] \text{ tel que } f(c) = k$
Théorème des valeurs intermédiaires et résolution des équations
$\left. \begin{array}{l} \bullet\ f \text{ une fonction continue sur } [a;b] \cr \bullet\ k \text{ un réel compris entre } f(a) \text{ et } f(b) \end{array} \right\} \text{ alors } \begin{cases} \text{l'équation } f(x) = k \text{ admet au moins} \cr \text{une solution dans } [a;b] \end{cases}$
Interprétation graphique du TVI :
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un segment $[a; b]$ et soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors La partie de la courbe représentative de $f$ sur $[a; b]$ coupe la droite d’équation $y = k$ au moins en un point.
Exemple
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = x^3 + 3x^2$
Montrer que l’équation $f(x) = \frac{5}{2}$ admet au moins une Solution sur le segment $[-3; 1]$
En déduire que la courbe $(C_f)$ coupe la droite d’équation $y = \frac{5}{2}$ au moins en un point d’abscisse appartenant au segment $[-3; 1]$
Corollaire 1
$\left. \begin{array}{l} \bullet\ f \text{ une fonction continue sur } [a;b] \cr \bullet\ f(a) \times f(b) < 0 \end{array} \right\} \text{ alors } \begin{cases} \text{l'équation } f(x) = 0 \text{ admet au moins} \cr \text{une solution dans } ]a;b[ \end{cases}$
Remarque
Si une fonction est continue sur un intervalle et les images de ses extrémités sont de signe opposés, alors sa courbe représentative coupe l’axe des abscisses au moins en un point dont l’abscisse appartient à cet intervalle.
Corollaire 2
$\left. \begin{array}{l} \bullet\ f \text{ une fonction continue sur } [a;b] \cr \bullet\ f \text{ strictement monotone sur } [a;b] \cr \bullet\ f(a) \times f(b) < 0 \end{array} \right\} \text{ alors } \begin{cases} \text{l'équation } f(x) = 0 \text{ admet une unique} \cr \text{solution } \alpha \text{ dans } ]a;b[ \end{cases}$
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 + x + 1$. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $]-1;0[$.
En effet : $f$ est continue et dérivable sur $[-1;0]$ et $f'(x) = 3x^2 + 1$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$ ; en plus $f(-1) = -1$ et $f(0) = 1$ donc $f(-1) \times f(0) < 0$. D’où, d’après le corollaire du TVT, l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1;0[$.
Corollaire 3
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[a;b]$ et $h$ la fonction définie sur $[a;b]$ par : $h(x) = f(x) - g(x)$.
$\left. \begin{array}{l} f \text{ et } g \text{ continues sur } [a;b] \cr h(a) \times h(b) < 0 \end{array} \right\} \text{ alors } \begin{cases} \text{l'équation } f(x) = g(x) \text{ admet au moins une solution} \cr \text{dans l'intervalle } [a;b] \end{cases}$
Corollaire 4
Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle de la forme $[a; +\infty[$ et $k$ un réel.
$\left. \begin{array}{l} \bullet\ f \text{ continue sur } [a; +\infty[ \cr \bullet\ k \in f([a; +\infty[) \end{array} \right\} \text{ alors } \begin{cases} \text{l'équation } f(x) = k \text{ admet au moins} \cr \text{une solution dans } [a; +\infty[ \end{cases}$
Si en plus $f$ est strictement monotone sur $[a; +\infty[$, alors cette équation admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[a; +\infty[$.
Exemples
$f(x) = \sin x \text{ ; } g(x) = 2x - 1$. Montrer que l’équation $f(x) = g(x)$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0; +\infty[$
$f(x) = x^3 + 2x - 1$. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$
Méthode d’encadrement par dichotomie des solutions d’une équation de la forme $f(x) = 0$
On considère une fonction $f$ continue et strictement monotone sur un segment $[a; b]$ ($a < b$) telle que $f(a) \times f(b) < 0$. Donc d’après le corollaire du TVI il existe un unique réel $c \in ]a; b[$ tel que $f(c) = 0$.
On pose $m = \frac{a+b}{2}$, et on calcule $f(m)$. On a deux cas possibles :
- $f(a) \times f(m) < 0$ et donc $c \in ]a; m[$
- $f(m) \times f(b) < 0$ donc $c \in ]m; b[$
On réitère ce procédé jusqu’à ce qu’on arrive à l’encadrement demandé. Ce procédé s’intitule la dichotomie. Après $n$ étapes on a un encadrement de $c$ d’amplitude $\frac{b-a}{2^n}$.
Exemple
Déterminer un encadrement à $6,25 \times 10^{-2}$ près de $\sqrt{2}$
Remarquons que $\sqrt{2}$ est la solution positive de l’équation $x^2 - 2 = 0$.
On considère la fonction $f$ définie sur $[1; 2]$ par : $f(x) = x^2 - 2$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1; 2]$ et on a : $f(1) = -1 \text{ et } f(2) = 2$ donc $f(1) \times f(2) < 0$ par conséquent l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $c = \sqrt{2}$ dans $]1; 2[$. On a $f(1) < 0 \text{ et } f(2) > 0$
| a | b | m | $f(m)$ | conclusion |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1,5 | $0,25 > 0$ | $1 < c < 1,5$ |
| 1 | 1,5 | 1,25 | $-0,4375 < 0$ | $1,25 < c < 1,5$ |
| 1,25 | 1,5 | 1,375 | $-0,109 < 0$ | $1,375 < c < 1,5$ |
| 1,375 | 1,5 | 1,4375 | $0,066 > 0$ | $1,375 < c < 1,4375$ |
Enfin on a $1,4375 - 1,375 = 0,0625 = 6,25 \times 10^{-2}$. Donc l’encadrement de $c$ à $6,25 \times 10^{-2}$ est $1,375 < c < 1,4375$
V – Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
Proposition 1
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ telle que :
$\left. \begin{array}{l} \bullet\ f \text{ continue sur } I \cr \bullet\ f \text{ strictement monotone sur } I \cr \bullet\ J = f(I) \end{array} \right\} \text{ alors } \begin{cases} f \text{ admet une fonction réciproque } f^{-1} \cr \text{définie sur l'intervalle } J \end{cases}$
Proposition 2
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ telle que $J = f(I)$.
Alors :
- La fonction réciproque $f^{-1}$ est continue et de même monotonie que $f$ sur l’intervalle $J = f(I)$
- $(\forall x \in J)(\forall y \in I); y = f^{-1}(x) \iff x = f(y)$
- $(\forall x \in I), f^{-1} \circ f(x) = x$
- $(\forall x \in J), f \circ f^{-1}(x) = x$
- La courbe représentative de $f^{-1}$ et la courbe représentative de $f$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice c’est-à-dire la droite d’équation $y = x$ dans un repère orthonormé
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $I = ]2, +\infty[$ par : $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$
Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l’on déterminera.
a/ Calculer $f(3)$ et en déduire $f^{-1}(1)$
b/ Déterminer l’expression de $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de l’intervalle $J$
Dresser le tableau de variation de la fonction $f^{-1}$
Construire dans un même repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ les courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}$
Corrigé
on a $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$ et $I = ]2; +\infty[$
Puisqueles fonctions $x \mapsto x-2$ ; $x \mapsto \sqrt{x-2}$ sont continues sur l’intervalle $I$ et $(\forall x \in I); \sqrt{x-2} \neq 0$ alors la fonction $f$ est continue sur $I$
De même la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et on a : $(\forall x \in I); f'(x) = -\frac{1}{2(x-2)\sqrt{x-2}}$
Donc $(\forall x \in I); f'(x) < 0$, par suite la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $I$.
Alors la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(I)$ donc $J = \left] \lim_{x \to +\infty} f(x); \lim_{x \to 2^+} f(x) \right[ = ]0; +\infty[$
a/ $f(3) = 1$ donc $f^{-1}(1) = 3$
b/ Soit $x \in J$ et $y \in I$ ;
on a $y = f^{-1}(x) \iff f(y) = x$
$$\iff \frac{1}{\sqrt{y-2}} = x$$$$\iff y - 2 = \frac{1}{x^2}$$$$\iff y = \frac{2x^2 + 1}{x^2}$$Donc $(\forall x \in J); f^{-1}(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2}$
VI – Fonction racine $\text{n}^{\text{eme}}$
Théorème et définition
Soit n un entier naturel tel que $n \ge 2$.
La fonction $f : x \mapsto x^n$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}$. Le nombre $\sqrt[n]{x}$ est appelé la racine $\text{n}^{\text{eme}}$ ou la racine d’ordre n du réel positif $x$.
Propriétés
Soit n et m deux entiers naturels non nuls. Alors :
- $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+); \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \iff x = y$
- $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+); \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y} \iff x < y$
- $(\forall x \in \mathbb{R}^+); \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x \text{ et } \sqrt[n]{x^n} = x$
- $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+); \sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \times y}$
- $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^{+*}); \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} \text{ et } \sqrt[n]{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt[n]{y}}$
- $(\forall x \in \mathbb{R}^+); \sqrt[n \times m]{x^m} = \sqrt[n]{x} \text{ et } \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n \times m]{x}$
Proposition
Soit $n$ un entier naturel tel que $n \ge 2$.
- La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$ et $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$
- Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ et $x \mapsto x^n$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice c’est-à-dire la droite d’équation $y = x$.
Courbes des fonctions racine carrée et racine cubique
$f(x) = x^2 \text{ et } f^{-1}(x) = \sqrt{x} \text{ ; } f^{-1} = g$
$f(x) = x^3 \text{ et } f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} \text{ où } f^{-1} = g$
Puissance rationnelle d’un réel strictement positif
Définition
Soit $p \in \mathbb{Z}^*$, $q \in \mathbb{N}^*$ et $x \in ]0; +\infty[$ et $r = \frac{p}{q}$.
La puissance rationnelle du nombre réel $x$ d’exposant $r$ est le nombre réel $x^r = x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}$.
En particulier : $(\forall n \in \mathbb{N}^*)(\forall x \in \mathbb{R}^+); \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
Propriétés
$$(\forall r \in \mathbb{Q}^*)\left(\forall r' \in \mathbb{Q}^*\right)\left(\forall n \in \mathbb{N}^*\right)\left(\forall m \in \mathbb{Z}^*\right)\left(\forall x \in \mathbb{R}^{+*}\right)\left(\forall y \in \mathbb{R}^{+*}\right), \text{on a :}$$- $x^r > 0$
- $x^r \times x^{r'} = x^{r+r'} \text{ ; } \left(x^r\right)^{r'} = x^{r \times r'} \text{ ; } \frac{x^r}{x^{r'}} = x^{r-r'} \text{ et } \frac{1}{x^r} = x^{-r}$
- $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} = \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m$
- $x^r \times y^r = (xy)^r \text{ ; } \frac{x^r}{y^r} = \left(\frac{x}{y}\right)^r$